Bentuk Umum Fungsi Kuadrat: Penjelasan Lengkap dan Contoh Soal – Fungsi kuadrat adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang sering digunakan dalam berbagai bidang, termasuk fisika, ekonomi, dan teknik. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum yang khas dan grafik yang berbentuk parabola. Artikel ini akan membahas secara lengkap tentang bentuk umum fungsi kuadrat, karakteristiknya, cara menyelesaikan soal-soal fungsi kuadrat, serta contoh soal dan penyelesaiannya. Dengan informasi ini, Anda akan mendapatkan pemahaman yang mendalam tentang konsep fungsi kuadrat dan cara mengaplikasikannya dalam berbagai situasi.

Baca juga : 5 Langkah Memilih Jurusan Kuliah yang Tepat dan Harapan Karier

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah:

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c

Di mana:

  • f(x)f(x) adalah nilai fungsi kuadrat.
  • xx adalah variabel independen.
  • aa, bb, dan cc adalah konstanta dengan a≠0a \neq 0.

Konstanta aa menentukan bentuk parabola, apakah terbuka ke atas atau ke bawah. Jika a>0a > 0, parabola terbuka ke atas, dan jika a<0a < 0, parabola terbuka ke bawah. Konstanta bb dan cc raja mahjong mempengaruhi posisi parabola pada sumbu koordinat.

Karakteristik Fungsi Kuadrat

  1. Grafik Berbentuk Parabola Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang simetris terhadap sumbu vertikal yang disebut sumbu simetri. Sumbu simetri memiliki persamaan x=−b2ax = -\frac{b}{2a}.
  2. Titik Puncak (Vertex) Titik puncak (vertex) parabola mahjong wins adalah titik tertinggi atau terendah pada grafik fungsi kuadrat. Koordinat titik puncak dapat dihitung dengan rumus:
(−b2a,f(−b2a))\left( -\frac{b}{2a}, f\left( -\frac{b}{2a} \right) \right)
  1. Akar-Akar Fungsi Kuadrat Akar-akar fungsi kuadrat adalah nilai-nilai xx yang membuat f(x)=0f(x) = 0. Akar-akar ini dapat ditemukan dengan menggunakan rumus kuadrat:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
  1. Diskriminan Diskriminan adalah bagian dari rumus kuadrat yang berada di dalam akar, yaitu b2−4acb^2 – 4ac. Diskriminan menentukan jumlah dan jenis akar-akar fungsi kuadrat:
    • Jika diskriminan >0> 0, fungsi kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda.
    • Jika diskriminan =0= 0, fungsi kuadrat memiliki satu akar real (akar kembar).
    • Jika diskriminan <0< 0, fungsi kuadrat tidak memiliki akar real (akar kompleks).

Cara Menyelesaikan Soal Fungsi Kuadrat

  1. Menggunakan Rumus Kuadrat Rumus kuadrat adalah metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Langkah-langkahnya adalah:
    • Tentukan nilai aa, bb, dan cc dari persamaan kuadrat.
    • Hitung diskriminan b2−4acb^2 – 4ac.
    • Gunakan rumus kuadrat untuk menemukan akar-akar persamaan.
  2. Menggunakan Faktorisasi Faktorisasi adalah metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan persamaan menjadi bentuk perkalian dua binomial. Langkah-langkahnya adalah:
    • Tentukan nilai aa, bb, dan cc dari persamaan kuadrat.
    • Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan acac dan jika dijumlahkan menghasilkan bb.
    • Faktorkan persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian dua binomial.
    • Temukan akar-akar persamaan dari binomial yang difaktorkan.
  3. Menggunakan Melengkapi Kuadrat Melengkapi kuadrat adalah metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubahnya menjadi bentuk kuadrat sempurna. Langkah-langkahnya adalah:
    • Tentukan nilai aa, bb, dan cc dari persamaan kuadrat.
    • Pindahkan konstanta cc ke sisi kanan persamaan.
    • Tambahkan dan kurangi kuadrat dari setengah koefisien xx di sisi kiri persamaan.
    • Ubah persamaan menjadi bentuk kuadrat sempurna.
    • Temukan akar-akar persamaan dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh Soal 1: Menggunakan Rumus Kuadrat Selesaikan persamaan kuadrat 2×2−4x−6=02x^2 – 4x – 6 = 0.

Penyelesaian:

  • Tentukan nilai a=2a = 2, b=−4b = -4, dan c=−6c = -6.
  • Hitung diskriminan:
Δ=b2−4ac=(−4)2−4(2)(−6)=16+48=64\Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64
  • Gunakan rumus kuadrat:
x=−b±Δ2a=4±644=4±84x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4}
x1=4+84=3x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3
x2=4−84=−1x_2 = \frac{4 – 8}{4} = -1

Contoh Soal 2: Menggunakan Faktorisasi Selesaikan persamaan kuadrat x2−5x+6=0x^2 – 5x + 6 = 0.

Penyelesaian:

  • Tentukan nilai a=1a = 1, b=−5b = -5, dan c=6c = 6.
  • Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan ac=6ac = 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan b=−5b = -5. Bilangan tersebut adalah -2 dan -3.
  • Faktorkan persamaan kuadrat:
x2−5x+6=(x−2)(x−3)=0x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) = 0
  • Temukan akar-akar persamaan:
x−2=0⇒x=2x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2
x−3=0⇒x=3x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3

Contoh Soal 3: Menggunakan Melengkapi Kuadrat Selesaikan persamaan kuadrat x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0.

Penyelesaian:

  • Tentukan nilai a=1a = 1, b=6b = 6, dan c=5c = 5.
  • Pindahkan konstanta cc ke sisi kanan persamaan:
x2+6x=−5x^2 + 6x = -5
  • Tambahkan dan kurangi kuadrat dari setengah koefisien xx:
x2+6x+9=4x^2 + 6x + 9 = 4
  • Ubah persamaan menjadi bentuk kuadrat sempurna:
(x+3)2=4(x + 3)^2 = 4
  • Temukan akar-akar persamaan:
x+3=±2x + 3 = \pm 2
x=−3+2=−1x = -3 + 2 = -1
x=−3−2=−5x = -3 – 2 = -5

Kesimpulan

Fungsi kuadrat adalah konsep dasar dalam matematika yang memiliki bentuk umum f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan titik puncak dan akar-akar yang dapat dihitung menggunakan rumus kuadrat, faktorisasi, atau melengkapi kuadrat. Dengan memahami karakteristik dan cara menyelesaikan soal-soal fungsi kuadrat, Anda dapat mengaplikasikan konsep ini dalam berbagai situasi.